Question

设函数f(x)=

3x+4

x2+1

，g(x)=

6a2

x+a

，a＞

1

3

．
（1）求函数f（x）的极大值与极小值；
（2）若对函数的x₀∈[0，a]，总存在相应的x₁，x₂∈[0，a]，使得g（x₁）≤f（x₀）≤g（x₂）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求导数，再令f′（x）=0，，从而求出函数f（x）的极大值与极小值；（2）分别求出函数的最值，利用只需在区间[0，a]上有[f（x）]_max≤[g（x）]_max且[f（x）]_min≥[g（x）]_min可求．

解答：解：（1）定义域为R f′(x)=

3(x2+1)-(3x+4)•2x

(x2+1)2

=

-(3x-1)(x+3)

(x2+1)2

x	（-∞，-3）	-3	(-3， 1 3 )	1 3	( 1 3 ，+∞)
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	极小值	↗	极大值	↘

令f′(x)=0，x1=-3．x2=

1

3

，且

∴f（x）：极大值为f(

1

3

)=

9

2

极小值为f(-3)=-

1

2

（2）依题意，只需在区间[0，a]上有[f（x）]_max≤[g（x）]_max且[f（x）]_min≥[g（x）]_min
∴f（x）在[0，

1

3

]↑，[

1

3

，a]↓?[f(x)]max=f(

1

3

)=

9

2

，f(x)取小值f（0）或f（a）
又f(0)=4，f(a)=

3k+4

a2+1

，f(a)-f(0)=

a(3-4a)

a2+1

∴当

1

3

＜a＜

3

4

时，[f（x）]_min=f（0）=4，当a≥

3

4

时，[f(x)]min=f(a)=

3a+4

a2+1

又g（x）在[0，a]↓?[g（x）]_max=g（0）=6a，[g（x）]_min=g（a）=3a
∴当

1

3

＜a＜

3

4

时，

9

2

≤6a；当a≥

4

3

时，

3a+4

a2+1

≥3a
∴

3

4

≤a≤

3	4 3

点评：考查学生利用导数研究函数极值的能力，利用导数求闭区间上函数极值的能力．利用导数研究函数的单调性和函数在某点取得极值的条件，注意f′（x₀）=0是x=x₀是极值点的必要不充分条件，因此对于解得的结果要检验，这是易错点．