Question

（本小题满分12分）如图（1），△是等腰直角三角形，分别为的中点，将△沿折起，使在平面上的射影恰好为的中点，得到图（2）。

（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求三棱锥的体积。

 

Answer 1

【答案】

（I）证明：见解析；

（Ⅱ）    

【解析】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及棱柱、棱锥、棱台的体积，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．

（1）欲证EF⊥A'C，可先证EF⊥平面A'EC，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证EF⊥平面A'EC内两相交直线垂直，而EF⊥A'E，EF⊥EC，EC∩A‘E=E，满足定理条件；

（2）先根据题意求出S△FBC，将求三棱锥F-A′BC的体积转化成求三棱锥A′-BCF的体积，再根据三棱锥的体积公式求解即可．

（I）证明：在中，是等腰直角的中位线，EF//BC在四棱锥中，，，  平面，   又平面,

（Ⅱ）解：在直角梯形中，

,         

又垂直平分， 

三棱锥的体积为：