题目内容

设n∈N*，证明4×6n＋5n+1除以20的余数为9．

答案：
解析：

　　证明：(1)当n＝1时，4×61＋52＝24＋25＝49＝2×20＋9命题成立．

　　(2)假设当n＝k时命题成立，即4×6k＋5k+1被20除余9，即4×6k＋5k+1－9被20整除，

　　则当n＝k＋1时，4×6k+1＋5k+2－9

　　＝6×(4×6k＋5k+1－9)－6×5k+1＋5k+2＋45

　　＝6×(4×6k＋5k+1－9)＋45－5k+1．

　　∵6×(4×6k＋5k+1－9)被20整除，只需证45－5k+1被20整除．

　　①当n＝1时，451－51+1＝45－25＝20被20整除成立；

　　②假设当n＝k时成立，即45－5k+1被20整除，

　　则当n＝k＋1时，45－5k+2＝(45－5k+1)×5－180能被20整除，∴当n＝k＋1时成立．

　　∴45－5k+1都能被20整除．

　　∴当n＝k＋1时原命题成立．

　　由(1)(2)可知命题成立．

　　思路分析：本题研究余数问题实质上是20的倍数再加9．也可看作是4×6n＋5n+1－9被20整除．整除性问题可用数学归纳法证明．


练习册系列答案
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