Question

【题目】已知函数．

（1）当时，求的最小值；

（2）若函数在上存在极值点，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）求导后可得，令，利用导数可知函数恒成立，由此可得函数在上单调递减，在上单调递增，进而得到最小值；

（2）分及讨论，当时，无极值；当时，利用导数可知满足题意，进而得出结论．

解：（1）由已知得当时，

．

令，则．

当时，；当时，．

易知函数在上单调递减，在上单调递增，

所以，所以，

则当时，；当时，，

因此在上单调递减，在上单调递增，

所以．

（2）

令．

①当时，．

又因为，，所以，

此时在单调递増，所以函数无极值．

②当时，，在上单调递增．

又，，所以在上存在唯一零点，设为，

所以当时，，，单调递减；

当时，，，单调递增，

所以当时，函数在上存在极值点．

综上所述，的取值范围是．