Question

已知A、B、C是△ABC三内角，向量

a

=(

3

sinB-cosB，2cosB)，

b

=(2cosC，

3

sinC-cosC)且

a

∥

b

（1）求角A的大小；
（2）若AB+AC=4，求△ABC外接圆面积的取值范围．

Answer 1

分析：（1）因为若向量

a

∥

b

，则x₁y₂-x₂y₁=0，所以2cosC×2cosB-（

3

sinB-cosB）（

3

sinC-cosC）=0，可得到含B，C的式子，进而求出B+C的值，再根据三角形内角和定理，求出角A．
（2）利用正弦定理，可得，

BC

sinA

=2R，所以R=

BC

2sinA

，再根据A=

π

3

，可以BC表示R，因为AB+AC=4，以及余弦定理，可求BC范围，进而求出R范围，再代入△ABC外接圆面积公式，即可求出△ABC外接圆面积的取值范围．

解答：解：（1）∵

a

∥

b

∴(

3

sinB-cosB)(

3

sinC-cosC)=4cosBcosC
即3（cosBcosC-sinBsinC）=-

3

（sinBcosC+cosBsinC）
∴3cos（B+C）=-

3

sin（B+C）

tan(B+C)=- 3 ∵0＜B+C＜π ∴B+C= 2π 3 A= π 3

（2）由（1）得BC²=AB²+AC²-3AB•AC≥（AB+AC）²-3•

(AB+AC)2

4

=

1

4

(AB+AC)2=

1

4

×4=4
当且仅当AB=AC=2时上式取“=”
又BC＜AB+AC=4∴4≤BC²＜16
设△ABC外接圆半径为R，
则

BC

sinA

=2R，R2=

BC2

4sin2A

=

1

3

BC2∈[

4

3

，

16

3

)
∴△ABC外接圆面积的取值范围是[

4π

3

，

16

3

π)

点评：本题考查了正余弦定理的应用，做题时应该细心，善于发现规律．