Question

设函数f（x）=

x+ 1 2 ，x∈[0， 1 2 ) 2(1-x)，x∈[ 1 2 ，1]

若f[f（a）]∈[0，

1

2

]，则a的取值范围是

1

4

＜a＜

5

8

．

Answer 1

分析：分a在[0，

1

2

)和[

1

2

，1]两种情况讨论，同时根据f（a）所在的区间不同求f[f（a）]的值，然后由f[f（a）]∈[0，

1

2

]求解不等式得到a的取值范围．

解答：解：当a∈[0，

1

2

)时，f(a)=a+

1

2

．
∵

1

2

≤a+

1

2

＜1，由0≤2(1-

1

2

-a)＜

1

2

，解得：

1

4

＜a≤

1

2

，所以

1

4

＜a＜

1

2

；
当a∈[

1

2

，1]，f（a）=2（1-a），
∵0≤2（1-a）≤1，若0≤2(1-a)＜

1

2

，则2(1-a)+

1

2

≥

1

2

，不满足题意．
若

1

2

≤2(1-a)≤1，即

1

2

≤a≤

3

4

，因为2[1-2（1-a）]=4a-2，
由0≤4a-2＜

1

2

，得：

1

2

≤a＜

5

8

．
综上得：

1

4

＜a＜

5

8

．
故答案为

1

4

＜a＜

5

8

．

点评：本题考查了函数的值域，考查了分类讨论的数学思想，此题涉及二次讨论，解答时容易出错，此题为中档题．