题目内容
△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a，b，c成等差数列，且cosB=| 3 |
| 5 |
（1）求cosAcosC的值；
（2）求tanA+tanC值．
（3）判断等式(
| BA |
| BC |
| AC |
分析：（1）由a，b，c成等差数列，cosB=
，取特殊值a=3，b=4，c=5，故cosA=
，cosC=0，cosAcosC=0．
（2）tanA+tanC=
+
=
．
（3）(
+
)•
=0不可能成立．取AC中点O，连接BO，由题设能导出cosB=
，与已知cosB=
矛盾，所以(
+
)•
=0不可能成立．
| 3 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
（2）tanA+tanC=
| 3 |
| 4 |
| 4 |
| 3 |
| 25 |
| 12 |
（3）(
| BA |
| BC |
| AC |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 5 |
| BA |
| BC |
| AC |
解答：解：（1）∵a，b，c成等差数列，∴2b=a+c
∵cosB=
，∴sinB=
，
∴取特殊值a=3，b=4，c=5，
∴cosA=
，cosC=0，
cosAcosC=0．
（2）tanA+tanC=
+
=
=
．（7分）
（3）(
+
)•
=0不可能成立．取AC中点O，连接BO
∵(
+
)=2
，若(
+
)•
=0，
∴BO⊥AC（9分）
从而|
|=|
|，即a=c，
又∵b2=ac∴a=b=c∴B=
∴cosB=
，与已知cosB=
矛盾，
∴(
+
)•
=0不可能成立．（14分）
∵cosB=
| 3 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
∴取特殊值a=3，b=4，c=5，
∴cosA=
| 4 |
| 5 |
cosAcosC=0．
（2）tanA+tanC=
| 3 |
| 4 |
| 4 |
| 3 |
=
| 9+16 |
| 12 |
=
| 25 |
| 12 |
（3）(
| BA |
| BC |
| AC |
∵(
| BA |
| BC |
| BO |
| BA |
| BC |
| AC |
∴BO⊥AC（9分）
从而|
| BA |
| BC |
又∵b2=ac∴a=b=c∴B=
| π |
| 3 |
∴cosB=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 5 |
∴(
| BA |
| BC |
| AC |
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意三角函数性质和公式的灵活运用．
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