Question

（2013•广元二模）在(1-x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn中，若2a₂+a_n-5=0，则自然数n的值是（　　）

A．7

B．8

C．9

D．10

Answer 1

分析：由二项展开式的通项公式T_r+1=

C

r n

•（-1）^rx^r可得a_n=（-1）^r•

C

r n

，于是有2（-1）²

C

2 n

+（-1）^n-5

C

5 n

=0，由此可解得自然数n的值．

解答：解：由题意得，该二项展开式的通项公式T_r+1=

C

r n

•（-1）^rx^r，
∴其二项式系数a_n=（-1）^r•

C

r n

，
∵2a₂+a_n-5=0，
∴2（-1）²

C

2 n

+（-1）^n-5

C

5 n

=0，即2

C

2 n

+（-1）^n-5

C

5 n

=0，
∴n-5为奇数，
∴2

C

2 n

=

C

n-5 n

=

C

5 n

，
∴2×

n(n-1)

2

=

n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)

5!

，
∴（n-2）（n-3）（n-4）=120．
∴n=8．
故答案为：8．

点评：本体考察二项式定理的应用，着重考察二项式系数的概念与应用，由二项展开式的通项公式得到二项式系数a_n=（-1）^r•

C

r n

是关键，属于中档题．