Question

（2013•杭州二模）设函数f（x）=ax³+bx（a，b为实数）．
（I）设a≠0，当a+b=0时．求过点P（-1，0）且与曲线y=f（x）相切的直线方程；
（Ⅱ）设b＞0，当a≤0且x∈[0，1]时，有f（x）∈[0，1），求b的最大值．

Answer 1

分析：（I）设切点T（x₀，y₀），利用导数的几何意义可得f'（x₀）=k_PT，利用点斜式得到切线方程，把点P（-1，0）代入即可得到x₀，进而即可得到切线方程；
（II）通过对a，b分类讨论，利用导数研究其单调性得出值域即可．

解答：解：（Ⅰ）∵a≠0，a+b=0，∴b=-a，则f（x）=ax³-ax，
∴f'（x）=3ax²-a，设切点T（x₀，y₀），则f'（x₀）=k_PT，
即：切线方程为y-y0=(3ax02-a)(x-x0)，又∵切线过点P（-1，0），
∴-(ax03-ax0)=(3ax02-a)(-1-x0)，解得：x₀=-1或x0=

1

2

．
当x₀=-1时，f'（x₀）=2a，切线方程为y=2ax+2a，
当x0=

1

2

时，f′(x0)=-

1

4

a，切线方程为y=-

1

4

ax-

1

4

a．
（Ⅱ）  ①当a=0，b＞0时，f（x）=bx在[0，1]上递增，∴b≤1．
②当a＜0，b＞0时，令f'（x）=3ax²+b=0，得x=±

- b 3a

，f（x）在[0，

- b 3a

]上递增，
（ i ） 若

- b 3a

≥1时，f（x）在[0，1]上递增，
∵f（0）=0，
∴

- b 3a ≥1 a+b≤1 a＜0，b＞0

，即：

3a+b≥0 a+b≤1 a＜0，b＞0

，由线性规划知：b≤

3

2

．
（ ii ） 若

- b 3a

＜1时，f（x）在[0，

- b 3a

]上递增，在[

- b 3a

，1]上递减，
又f（0）=0，由题意得：

- b 3a ＜1 f( - b 3a )≤1 a+b≥0

，
由f(

- b 3a

)≤1得，a•(-

b

3a

)•

- b 3a

+b•

- b 3a

≤1，
即：

2

3

b•

- b 3a

≤1，得4b³≤-27a．
又a+b≥0，∴a≥-b，
∴4b³≤27b，得0＜b≤

3

2

3

．
当b=

3

2

3

时，a=-b=-

3 3

2

，满足-

b

3a

＜1．
综上所述：b的最大值为

3 3

2

．

点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、导数的几何意义、切线方程、分类讨论的思想方法是解题的关键．