Question

已知α，β，α∈(-

π

2

，

π

2

)，β∈(0，π)，且等式：sin(3π-α)=

2

cos(

π

2

-β)，

3

cos(-α)=-

2

cos(π+β)同时成立．
（Ⅰ）求α，β；
（Ⅱ）若γ满足：

1+sinγ 1-sinγ

-

1-sinγ 1+sinγ

=

tanαtanγ

sinβ

，求γ的范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）首先由诱导公式简化已知条件并列方程组，再利用公式sin²β+cos²β=1解方程组，最后根据特殊角三角函数值求出满足要求的α、β．
（Ⅱ）先把

1+sinγ

1-sinγ

分子分母同时乘以1+sinγ，利用同角三角函数的基本关系式化简，类似化简

1-sinγ

1+sinγ

，等式的右边代入α，β的值，等式推出cosγ的范围，即可求解．

解答：解：（Ⅰ）由条件得sin(3π-α)=

2

cos(

π

2

-β)，

3

cos(-α)=-

2

cos(π+β)．

sinα= 2 sinβ…① 3 cosα= 2 cosβ…②

，
①²+②²得sin²α+3cos²α=2，∴cos²α=

1

2

即cosα=±

2

2

．
∵α∈(-

π

2

，

π

2

)，
∴α=

π

4

．
将α=

π

4

代入②得cosβ=

3

2

．又β∈（0，π），
∴β=

π

6

，
综上可知α=

π

4

，β=

π

6

．
（Ⅱ）

1+sinγ

1-sinγ

=

(1+sinα)2

(1-sinα)(1+sinα)

=

(1+sinγ)2

cos2γ

，

1-sinγ

1+sinγ

=

(1-sinγ)2

(1-sinγ)(1+sinγ)

=

(1-sinγ)2

cos2γ

1+sinγ 1-sinγ

-

1-sinγ 1+sinγ

=

1+sinγ

|cosγ|

-

1-sinγ

|cosγ|

=2

sinγ

|cosγ|

又∵α=

π

4

，β=

π

6

．
∴

tanαtanγ

sinβ

=2tanγ，
∵

1+sinγ 1-sinγ

-

1-sinγ 1+sinγ

=

tanαtanγ

sinβ

∴2

sinγ

|cosγ|

=2tanγ，
∴cosγ＞0．
∴γ∈(2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

)，k∈Z．

点评：本题综合考查诱导公式、同角正余弦关系式及特殊角三角函数值．考查了三角函数恒等式的证明及同角三角函数基本关系的应用