Question

数列{a_n} 的前n项和S_n=2n-a_n，先计算数列的前4项，后猜想a_n并用数学归纳法证明之．

Answer 1

计算得：a1=1，a2=

3

2

，a3=

7

4

，a4=

15

8

猜想  an=

2n-1

2n-1

；
下面用数学归纳法证明
（1）n=1时，成立；
（2）假设当n=k时成立，即ak=

2k-1

2k-1

则当n=k+1时，由S_k+1=2（k+1）-a_k+1，得S_k+1-a_k+1=2（k+1）-2a_k+1，
∴S_k=2（k+1）-2a_k+1，
∴2k-a_k=2（k+1）-2a_k+1，
∴ak+1=

2k+1-1

2(k+1)-1

．
这就是说，当n=k+1时，等式也成立．
由（1）（2）可知an=

2n-1

2n-1

                       
对n∈N^•均成立．