Question

如图，在四棱柱中，底面是正方形，侧棱与底面垂直，点是正方形对角线的交点，，点，分别在和上，且．

（Ⅰ）求证：∥平面；

（Ⅱ）若，求的长；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求二面角的余弦值．

Answer 1

解：（Ⅰ）证明：取，连结和,

∴，∥，，∥，

∴，∥．

∴四边形为平行四边形，

∴∥，

    在矩形中，，

    ∴四边形为平行四边形．

    ∴∥，∥．

    ∵平面，平面，

    ∴∥平面．       ————————4分

（Ⅱ）连结，在正四棱柱中，

    平面，

    ∴，，

    ∴平面，

    ∴．

    由已知，得平面．

    ∴，，

    在△与△中， ，，

    ∴△∽△

    ∴，．—————————9分

（Ⅲ）以为原点，，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系．

      ．

      ，

      由（Ⅱ）知为平面的一个法向量，

      设为平面的一个法向量，

      则  ，即  ，

令，所以 ．

      ∴，

      ∵二面角的平面角为锐角，

      ∴二面角的余弦值为．  —————————13分