Question

（2009•宜昌模拟）受金融危机的影响，三峡某旅游公司经济效益出现了一定程度的滑坡．现需要对某一景点进行改造升级，从而扩大内需，提高旅游增加值．经过市场调查，旅游增加值y万元与投入x万元之间满足：y=

51

50

x-ax2-ln

x

10

，

x

2x-12

∈[t，+∞)，其中t为大于

1

2

的常数．当x=10万元时y=9.2万元．
（1）求y=f（x）的解析式和投入x的取值范围；
（2）求出旅游增加值y取得最大值时对应的x值．

Answer 1

分析：（1）由于当x=10万元时，y=9.2万元，求得a的值得f（x）的解析式．根据

x

2x-12

∈[t，+∞)，t为大于

1

2

的常数，可得6＜x≤

12t

2t-1

，即为所求投入x的取值范围．
（2）利用导数可得可得f（x）在（1，50]上是增函数，在（50，+∞）上是减函数．再由6＜x≤

12t

2t-1

，
①当

12t

2t-1

≥50时，则x=50时，函数f（x）取得极大值，②若

12t

2t-1

＜50，则当x=

12t

2t-1

时，函数f（x）取得
最大值，综合可得结论．

解答：解：（1）由于y=

51

50

x-ax2-ln

x

10

，当x=10万元时，y=9.2万元，
因此，

51

50

×10-a×102-ln1=9.2，解得a=

1

100

．
从而f（x）=

51

50

x-

x2

100

-ln

x

10

．…（3分）
∵

x

2x-12

∈[t，+∞)，t为大于

1

2

的常数，可得6＜x≤

12t

2t-1

．
即投入x的取值范围为（6，

12t

2t-1

]．…（6分）
（2）由题意可得f′（x）=

51

50

-

x

50

-

1

x

=-

x2-51x+50

50x

，令f′（x）=0，可得 x=1，或 x=50．…（8分）
当x∈（1，50）时，f′（x）＞0，且f（x）在（1，50）上连续，因此f（x）在（1，50]上是增函数；
当x∈（50，+∞））时，f′（x）＜0，且f（x）在（50，+∞）上连续，
因此f（x）在（50，+∞）上是减函数．
再由6＜x≤

12t

2t-1

，
①可得当

12t

2t-1

≥50时，则x=50时，函数f（x）取得极大值，即投入50万元改造时旅游取得最大增加值．
②若

12t

2t-1

＜50，则当x=

12t

2t-1

时，函数f（x）取得最大值．
即投入

12t

2t-1

万元改造时旅游取得最大增加值．…（12分）

点评：本题主要考查函数的最值的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．