Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n-5a_n-85，n∈N^*．
（1）证明：{a_n-1}是等比数列；
（2）（理科）求数列{S_n}的通项公式，并求n为何值时S_n取得最小值，并说明理由．
（文科）求数列{S_n}的通项公式，并求出使得S_n+1＞S_n成立的最小正整数n．

Answer 1

分析：（1）根据Sn=n-5an-85，n∈N*，再写一式S_n+1=（n+1）-5a_n+1-85，两式相减，即可证得{a_n-1}为等比数列；
（2）（理科）根据数列{a_n-1}为等比数列，可得数列{a_n}的通项公式，从而可求数列{S_n}的通项公式，由此可确定S_n的最小值；（文科）S_n+1＞S_n即a_n+1＞0，从而可求使得S_n+1＞S_n成立的最小正整数n．

解答：（1）证明：∵Sn=n-5an-85，n∈N*（1）
∴S_n+1=（n+1）-5a_n+1-85（2）…1分
从而由（2）-（1）可得：a_n+1=1-5（a_n+1-a_n）…3分
即：an+1-1=

5

6

(an-1)，n∈N*，…5分
从而{a_n-1}为等比数列，…6分
（2）解：由Sn=n-5an-85，n∈N*可得：a₁=S₁=1-5a₁-85，即a₁=-14…8分
因为数列{a_n-1}为等比数列，且首项a₁-1=-15，公比为

5

6

，
所以，通项公式为an-1=-15*(

5

6

)n-1，从而an=-15*(

5

6

)n-1+1…11分
所以，Sn=n+75•(

5

6

)n-1-90                                  …13分
（理科）由

Sn+1≥Sn Sn-1≥Sn

得14.8532≤n≤15.8532，又n∈N^*，所以n=15．…16分
（文科）S_n+1＞S_n即a_n+1＞0，-15*(

5

6

)n+1＞0，(

5

6

)n＜

1

15

，
解得n＞log

5

6

1

15

，从而n_min=15．                                     …16分
（注：方法不同，请酌情给分）

点评：本题考查数列递推式的运用，考查构造法证明等比数列，考查数列的求和，考查解不等式，属于中档题．