Question

已知双曲线（其中）.
（1）若定点到双曲线上的点的最近距离为，求的值；
（2）若过双曲线的左焦点，作倾斜角为的直线交双曲线于、两点，其中，是双曲线的右焦点.求△的面积.

Answer 1

(1)或；(2)．

解析试题分析：(1)本题涉及两点间距离，因此我们设双曲线上任一点为，这样可表示出距离的平方，注意到双曲线上的点满足，故要对进行分类讨论以求最小值；(2)设，，由于，因此，而可以用直线方程与双曲线方程联立方程组，消去可得的一元二次方程，从这个方程可得，从而得三角形面积．
试题解析：（1）设点在双曲线上，由题意得：。
由双曲线的性质，得。     1分
（i）若，则当时，有最小值。最小值，所以。     3分
（ii）若，则当时，有最小值，此时，解得。     6分
（2），，直线与轴垂直时，，此时，△的面积=.         7分
直线与轴不垂直时，直线方程为，         8分
设，
解法1：将代入双曲线方程，整理得：，即
         10分
所以，         11分

=.     14分
解法2：将代入双曲线方程，整理得：
，         10分
，，         11分

点到直线距离，
△的面积

=.     14分
考点：(1)定点到双曲线上点的最短距离；(2)直线与双曲线相交弦长及三角形面积．