Question

3．已知椭圆Γ：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
（Ⅰ）求椭圆Γ的离心率；
（Ⅱ）设直线y=x+m与椭圆Γ交于不同两点A，B，若点P（0，1）满足|$\overrightarrow{PA}$|=|$\overrightarrow{PB}$|，求实数m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出a，b，c，即可求椭圆Γ的离心率；
（Ⅱ）直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理确定AB的中点坐标，利用R（0，1），且|RA|=|RB|，可得斜率之间的关系，从而可得结论．

解答 解：（Ⅰ）由题意，a=2，b=1，∴c=$\sqrt{3}$．…（6分）
故椭圆离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．…（8分）
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
直线x-y+m=0与已知椭圆方程联立，消去y可得$\frac{5}{4}{x}^{2}+2mx+{m}^{2}-1=0$
由△＞0得$m∈（{-\sqrt{5}，\sqrt{5}}）$． 
∴x₁+x₂=-$\frac{8m}{5}$
∴y₁+y₂=x₁+x₂+2m=$\frac{2m}{5}$
∴AB的中点坐标为（-$\frac{4m}{5}$，$\frac{m}{5}$）
∵P（0，1），且|$\overrightarrow{PA}$|=|$\overrightarrow{PB}$|，
∴PM⊥AB，
∴$\frac{\frac{m}{5}-1}{-\frac{4}{5}m}×1=-1$
∴m=-$\frac{5}{3}$．…（15分）

点评 本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．