Question

已知抛物线C：y²=x，过定点A（x，0），作直线l交抛物线于P，Q（点P在第一象限）．
（Ⅰ）当点A是抛物线C的焦点，且弦长|PQ|=2时，求直线l的方程；
（Ⅱ）设点Q关于x轴的对称点为M，直线PM交x轴于点B，且BP⊥BQ．求证：点B的坐标是（-x，0）并求点B到直线l的距离d的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出抛物线的焦点坐标，然后假设直线l的方程为：，将P，Q的坐标设出，联立直线和抛物线方程消去x得到两根之和，然后根据|PQ|的长度得到n的值．
（2）先设l：x=my+x（m≠0），再根据对称性得到点M的坐标，联立l与抛物线的方程消去x得到两根之和、两根之积，表示出和根据∥，得到关系式x₂y₁-y₁x_B=-x₁y₂+x_By₂．再代入两根之和、两根之积可证明点B的坐标是（-x，0）．先确定△BMQ为等腰直角三角形，得到k_PB=1，再表示出点B到直线l的距离d即可求范围．
解答：解：（Ⅰ）由抛物线C：y²=x得抛物线的焦点坐标为，
设直线l的方程为：，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
由得．
所以△=n²+1＞0，y₁+y₂=n．因为，
所以．
所以n²=1．即n=±1．
所以直线l的方程为：或．
（Ⅱ）设l：x=my+x（m≠0），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则M（x₂，-y₂）．
由得y²-my-x=0．
因为，所以△=m²+4x＞0，y₁+y₂=m，y₁y₂=-x．
（ⅰ）设B（x_B，0），则．
由题意知：∥，∴x₂y₁-y₁x_B=-x₁y₂+x_By₂．
即（y₁+y₂）x_B=x₁y₂+x₂y₁=y₁²y₂+y₂²y₁=（y₁+y₂）y₁y₂．
显然y₁+y₂=m≠0，∴x_B=y₁y₂=-x．∴B（-x，0）．
（ⅱ）由题意知：△BMQ为等腰直角三角形，∴k_PB=1，
即，即．∴y₁-y₂=1．
∴（y₁+y₂）²-4y₁y₂=1．∴m²+4x=1．∴m²=1-4x＞0．
∴．∵，∴．
∴．
即d的取值范围是．
点评：本题主要考查抛物线和直线的综合题．圆锥曲线和直线的综合题是高考的热点问题，每年必考，要给予重视．