Question

设函数，数列满足．
⑴求数列的通项公式；
⑵设，若对恒成立，求实数的取值范围；
⑶是否存在以为首项，公比为的数列，，使得数列中每一项都是数列中不同的项，若存在，求出所有满足条件的数列的通项公式；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）；（2）；（3）存在，理由详见解析．

试题分析：（1）将利用进行化简，得到关于与的递推关系式，根据其特点，求其通项公式；（2）本题关键是求出，根据其表达式的特点，可每两项组合后提取公因式后，转化为等差数列求和，但要注意对，分奇偶性讨论，求出后，对恒成立再分离参数后转化为求最值问题，容易求出实数的取值范围；（3）此类问题，一般先假设存在符合条件的数列，解出来则存在，如果得到矛盾的结果，则假设错误，这样的数列则不存在.
试题解析：⑴因为，
所以．                            2分
因为，所以数列是以1为首项，公差为的等差数列．
所以．                            4分
⑵①当时，



．                         6分
②当时，


．                8分
所以 要使对恒成立，
只要使为偶数恒成立．
只要使，为偶数恒成立，故实数的取值范围为． 10分
⑶由，知数列中每一项都不可能是偶数．
①如存在以为首项，公比为2或4的数列，，
此时中每一项除第一项外都是偶数，故不存在以为首项，公比为偶数的数列． 12分
②当时，显然不存在这样的数列．
当时，若存在以为首项，公比为3的数列，．
则，，，．
所以满足条件的数列的通项公式为．          16分