题目内容

动圆M过定点A（- $数学公式$ ，0），且与定圆A?：（x- $数学公式$ ）²+y²=12相切．
（1）求动圆圆心M的轨迹C的方程；
（2）过点P（0，2）的直线l与轨迹C交于不同的两点E、F，求 $数学公式$ • $数学公式$ 的取值范围．

解：（1）A?（ $\text{[math]}$ ，0），依题意动圆与定圆相内切，
∴|MA?|+|MA|=2 $\text{[math]}$ ＞2 $\text{[math]}$
∴点M的轨迹是以A?、A为焦点，2 $\text{[math]}$ 为长轴上的椭圆，
∵a= $\text{[math]}$ ，c= $\text{[math]}$
∴b²=1
∴点M的轨迹方程为 $\text{[math]}$
（2）解：设l的方程为x=k（y-2）代入 $\text{[math]}$ ，消去x得：（k²+3）y²-4k²y+4k²-3=0
由△＞0得16k⁴-（4k²-3）（k²+3）＞0，∴0≤k²＜1
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
则y₁+y₂= $\text{[math]}$ ，y₁y₂= $\text{[math]}$
又 $\text{[math]}$ =（x₁，y₁-2）， $\text{[math]}$ =（x₂，y₂-2）
∴ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =x₁x₂+（y₁-2）（y₂-2）=k（y₁-2）•k （y₂-2）+（y₁-2）（y₂-2）
=（1+k²）（ $\text{[math]}$ -2× $\text{[math]}$ +4）=9（1- $\text{[math]}$ ）
∵0≤k²＜1，∴3≤k²+3＜4
∴ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ∈[3， $\text{[math]}$ ）
分析：（1）依题意动圆与定圆相内切，可得|MA?|+|MA|=2 $\text{[math]}$ ＞2 $\text{[math]}$ ，利用椭圆定义，即可求出动圆圆心M的轨迹的方程；
（2）设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理即向量数量积公式，即可求得 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ 的取值范围．
点评：本题考查椭圆的定义，考查轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．