Question

动圆M过定点A（-，0），且与定圆A´：（x-）²+y²=12相切．
（1）求动圆圆心M的轨迹C的方程；
（2）过点P（0，2）的直线l与轨迹C交于不同的两点E、F，求•的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）依题意动圆与定圆相内切，可得|MA´|+|MA|=2＞2，利用椭圆定义，即可求出动圆圆心M的轨迹的方程；
（2）设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理即向量数量积公式，即可求得•的取值范围．
解答：解：（1）A´（，0），依题意动圆与定圆相内切，
∴|MA´|+|MA|=2＞2             …（3分）
∴点M的轨迹是以A´、A为焦点，2为长轴上的椭圆，
∵a=，c=
∴b²=1．
∴点M的轨迹方程为        …（5分）
（2）解：设l的方程为x=k（y-2）代入，消去x得：（k²+3）y²-4k²y+4k²-3=0
由△＞0得16k⁴-（4k²-3）（k²+3）＞0，∴0≤k²＜1       …（7分）
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
则y₁+y₂=，y₁y₂=
又=（x₁，y₁-2），=（x₂，y₂-2）
∴•=x₁x₂+（y₁-2）（y₂-2）=k（y₁-2）•k （y₂-2）+（y₁-2）（y₂-2）
=（1+k²）（-2×+4）=9（1-）              …（10分）
∵0≤k²＜1，∴3≤k²+3＜4
∴•∈[3，）         …（12分）
点评：本题考查椭圆的定义，考查轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．