题目内容

已知函数 $数学公式$ ．
（1）若 $数学公式$ ，求f（x）在[1，+∞）上的最小值
（2）若 $数学公式$ ，求函数f（x）的单调区间；
（3）当 $数学公式$ 时，函数f（x）在区间[1，2]上是否有零点，若有，求出零点，若没有，请说明理由．

解：（1）当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，
f′（x）= $\text{[math]}$ -2+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ≥0，
∴f（x）在[1，+∞）是增函数，
∴f（x）的最小值为f（1）= $\text{[math]}$ ．
（2）∵ $\text{[math]}$ （x＞0）．
即 $\text{[math]}$ （x＞0）．
∵ $\text{[math]}$ ，∵ $\text{[math]}$
∴当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ＞2，由f′（x）＞0得0＜x＜2或x＞ $\text{[math]}$ ，由f′（x）＜0，得2＜x＜ $\text{[math]}$ ；
当a＞ $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，由f′（x）＞0得0＜x＜ $\text{[math]}$ 或x＞2，由f′（x）＜0，得 $\text{[math]}$ ＜x＜，2；
所以当 $\text{[math]}$ 时，f（x）的单调递增区间是（0，2]和 $\text{[math]}$ ，单调递减区间是 $\text{[math]}$ ；
当 $\text{[math]}$ 时，f（x）的单调递增区间是 $\text{[math]}$ 和[2，+∞），单调递减区间是 $\text{[math]}$ ．
（3）先求f（x）在x∈[1，2]的最大值．由（2）可知，
当 $\text{[math]}$ 时，f（x）在 $\text{[math]}$ 上单调递增，在 $\text{[math]}$ 上单调递减，
故 $\text{[math]}$ ．
由 $\text{[math]}$ 可知， $\text{[math]}$ ，2lna＞-2，-2lna＜2，
所以-2-2lna＜0，则f（x）_max＜0，
故在区间[1，2]上f（x）＜0．恒成立，
故当 $\text{[math]}$ 时，函数f（x）在区间[1，2]上没有零点．
分析：（1）求出f′（x），利用导数符号判断函数单调性，由单调性可求f（x）的最小值；
（2）求出f′（x），解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，即可求出f（x）的单调区间；
（3）用导数求出函数f（x）在区间[1，2]上最大值，由最大值符号可作出判断．
点评：本题考查函数的零点及应用导数研究函数的单调性问题，属中档题．