题目内容
函数f（x）=-x4+2x2+3有（ ）A．最大值4，最小值-4
B．最大值4，无最小值
C．无最大值，最小值-4
D．既无最大值也无最小值
【答案】分析：由f（x）=-x4+2x2+3，知f′（x）=-4x3+4x，由f′（x）=-4x3+4x=0，得x=0，x=±1，列表，得函数f（x）=-x4+2x2+3有最大值4，无最小值．
解答：解：∵f（x）=-x4+2x2+3，
∴f′（x）=-4x3+4x，
由f′（x）=-4x3+4x=0，
得x=0，x=±1，
列表，得
极大值f（-1）=-1+2+3=4，
极小值f（0）=3，
极大值f（1）=-1+2+3=4，
∵（1，+∞）时，f（x）是减函数，
∴函数f（x）=-x4+2x2+3有最大值4，无最小值．
故选B．
点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
解答：解：∵f（x）=-x4+2x2+3，
∴f′（x）=-4x3+4x，
由f′（x）=-4x3+4x=0，
得x=0，x=±1，
列表，得
| x | （-∞，-1） | -1 | （-1，0） | 0 | （0，1） | 1 | （1，+∞） |
| f′（x） | + | 0 | - | 0 | + | 0 | - |
| f（x） | ↑ | 极大值 | ↓ | 极小值 | ↑ | 极大值 | ↓ |
极小值f（0）=3，
极大值f（1）=-1+2+3=4，
∵（1，+∞）时，f（x）是减函数，
∴函数f（x）=-x4+2x2+3有最大值4，无最小值．
故选B．
点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
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