Question

已知函数 f（x）=

1

3

x³+

1

2

（b-1）x²+cx．
（1）当b=-3，c=3时，求f（x）的极值；
（2）若f（x）在（-∞，x₁），（x₂，+∞）上递增，在（x₁，x₂）上递减，x₂-x₁＞1，求证：b²＞2（b+2c）；
（3）在（2）的条件下，若t＜x₁，试比较t²+bt+c与x₁的大小．

Answer 1

分析：先对函数求导可得f′（x）=x²+（b-1）x+c
（1）b=-3，c=3时，f′（x）=x²-4x+3=（x-1）（x-3）根据导数的知识可求
（2）f'（x）=x²+（b-1）x+c，由x₁，x₂为x²+（b-1）x+c=0的两根，而|x₁-x₂|=

(x2+x1)2-4x1x2

，结合方程的根与系数的关系可证b²＞2（b+2c）
（3）要比较t²+bt+c与x₁的大小．只需比较t²+bt+c-x₁与0的大小，由（2）可得x²+（b-1）x+c=（x-x₁）（x-x₂）则可得t²+bt+c-x₁=（t-x₁）（t-x₂）+t-x₁=（t-x₁）（t-x₂+1），再由x₂-x₁＞1，可得x₂＞1+x₁＞1+t，从而有t-x₂+1＜0，从而可证

解答：解：f′（x）=x²+（b-1）x+c
（1）b=-3，c=3时，f′（x）=x²-4x+3=（x-1）（x-3）
根据导数的知识可得，y极大=f(1)=

4

3

，y极小=f(3)=0
（2）f'（x）=x²+（b-1）x+c
由题意可得x₁，x₂为x²+（b-1）x+c=0的两根，而|x₁-x₂|=x2-x1=

(b-1)2-4c

＞1从而可证
（3）由于x²+（b-1）x+c=（x-x₁）（x-x₂），则可得t²+bt+c=（t-x₁）（t-x₂）+t，t²+bt+c-x₁=（t-x₁）（t-x₂）+t-x₁=（t-x₁）（t-x₂+1），结合已知可证（t-x₁）（t-x₂+1）＞0，即证

点评：本题主要考查了利用导数求解函数的极值及判断函数的单调性，这是导数应用的最基本的试题类型，而方程与函数的结合是高考中综合性较强的试题，此类问题在高考中一般是难度比较大的试题，要求考生具备一定的逻辑推理与运算的能力