Question

某校设计了一个实验学科的实验考查：考生从6道备选题中一次性随机抽取3道，按照题目要求独立完成全部实验操作．规定：至少正确完成其中2题的便可通过考查．已知6道备选题中，考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响．
（Ⅰ）求考生甲通过实验考查的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两考生正确完成题数x₁，x₂的概率分布列；
（Ⅲ）试用统计知识分析比较甲、乙两考生的实验操作能力．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵甲生要通过实验考查，就要正确完成所抽取3道题中的2道或3道，
∴所求概率p=．
（Ⅱ）∵x₁=1，2，3，
=，
P（x₁=2）==，
P（x₁=3）=，
∴甲考生正确完成题数x₁的概率分布列为

x1	1	2	3
P

∵x₂=0，1，2，3，且，
P（x₂=1）==，
，
，
∴乙考生正确完成题数x₂的概率分布列为：

x2	0	1	2	3
P

（Ⅲ）∵，
Ex₂==2，
∴Ex₁=Ex₂，这表明甲、乙两考生正确完成题数的平均取值相同．

∵×=，
+，
∴Dx₁＜Dx₂，这表明x₁的取值比x₂的取值相对集中于均值2的周围，
因此甲生的实际操作能力比乙生强．
分析：（Ⅰ）甲生要通过实验考查，就要正确完成所抽取3道题中的2道或3道，由此能求出考生甲通过实验考查的概率．
（Ⅱ）由x₁=1，2，3，=，P（x₁=2）==，P（x₁=3）=，由此能求出甲考生正确完成题数x₁的概率分布列；x₂=0，1，2，3，且，P（x₂=1）==，，，由此能求出乙考生正确完成题数x₂的概率分布列．
（Ⅲ）分别求出Ex₁和Ex₂，Dx₁和Dx₂，由Ex₁=Ex₂，知甲、乙两考生正确完成题数的平均取值相同．由Dx₁＜Dx₂，知x₁的取值比x₂的取值相对集中于均值2的周围，因此甲生的实际操作能力比乙生强．
点评：本题考查概率的计算和分布列的求法，考查利用数学期望和方差分析比较甲、乙两考生的实验操作能力．解题时要认真审题，注意数学期望和方差在实际问题中的灵活运用．