题目内容

设a＞0，a≠1，0＜x＜1．求证：|loga(1－x)|＞|loga(x＋1)|．

答案：
解析：

　　证法一：平方后作差．

　　loga2(1－x)－loga2(x＋1)＝[loga(1－x)＋loga(x＋1)][loga(1－x)－loga(x＋1)]＝loga(1－x2)·loga．

　　当a＞1时，loga(1－x2)＜0，loga＜0，

　　∴loga2(1－x)－loga2(x＋1)＞0，即|loga(1－x)|＞|loga(x＋1)|；

　　当0＜a＜1时，loga(1－x2)＞0，loga＞0，

　　∴loga2(1－x)－loga2(x＋1)＞0，即|loga(1－x)|＞|loga(x＋1)|．

　　综上，所证不等式成立．

　　分析一：本题若证|loga(1－x)|＞|loga(x＋1)|，只需证loga2(1－x)＞loga2(x＋1)，这样脱掉了绝对值符号，越过了一个障碍．

　　证法二：∵0＜x＜1，∴lg(1－x)＜0，lg(1＋x)＞0，lg(1－x2)＜0．

　　∴|loga(1－x)|－|loga(x＋1)|＝－

　　＝[－lg(1－x)－lg(1＋x)]＝－＞0．

　　评注：本证法运算简单，避免了对a的讨论．

　　分析二：能否利用换底公式将以a为底的对数换成以10为底的常用对数，进而作差比较．

　　证法三：||＝|log(1+x)(1－x)|．

　　∵1＋x＞0，0＜1－x＜1，

　　∴原式＝－log(1+x)(1－x)＝log(1+x)＝log(1+x)＝1－log(1+x)(1－x2)．

　　∵0＜1－x2＜1，1＋x＞1，∴log(1+x)(1－x2)＜0．

　　∴||＞1，∴|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|．

　　评注：本题采用作商比较法，巧妙地把底换成大于1的数(1＋x)，不仅便于式子的化简，同时也避免了对底数a的讨论．

　　分析三：观察被证不等式，发现不等式的两端均为绝对值表示式，均为正数，因此可试用作商比较法来比较大小．


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(
1-
5
2
，0)∪(1，
1+
5
2
)
(
1-
5
2
，0)∪(1，
1+
5
2
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．

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