Question

设抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的动直线l交抛物线C于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）且y₁y₂=-4．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若（O为坐标原点），且点E在抛物线C上，求直线l倾斜角；
（3）若点M是抛物线C的准线上的一点，直线MF，MA，MB的斜率分别为k，k₁，k₂．求证：当k为定值时，k₁+k₂也为定值．

Answer 1

【答案】分析：（1）设出直线的方程与抛物线的方程联立，消去x得到关于y的一元二次方程，利用根据根与系数的关系即可得出；
（2）根据向量和（1）的结论可用k表示E点的坐标代入抛物线的方程即可得出直线l的斜率和倾斜角；
（3）利用向量计算公式和（1）中的根与系数的关系即可得出．
解答：解：（1）根据题意可知：，设直线l的方程为：，则：
联立方程：，消去x可得：y²-2pky-p²=0（*），
根据韦达定理可得：，∴p=2，
∴抛物线C的方程：y²=4x．
（2）设E（x，y），则：，由（*）式可得：y₁+y₂=2pk=4k
∴y=8k，
又，∴
∴
∵，∴64k²=4（8k²+4），∴2k²=1，∴
∴直线l的斜率，
∴倾斜角为或
（3）可以验证该定值为2k，证明如下：
设M（-1，y_M），则：，，
∵，∴
∴
=
=
=
∴k₁+k₂=2k为定值．
点评：熟练掌握直线与抛物线相交问题转化为直线方程与抛物线的方程联立得到一元二次方程、根据根与系数的关系、斜率的计算公式是解题的关键．