Question

如图，在直三棱柱中，平面侧面，且

（1） 求证：；

（2）若直线与平面所成的角为，求锐二面角的大小.

 

 

Answer 1

（1）详见解析；（2）

【解析】

试题分析：（1） 取的中点，连接，要证 ,只要证 平面

由直三棱柱的性质可知 ,只需证，因此只要证明平面

事实上，由已知平面侧面，平面，且

所以平面成立，于是结论可证.

（2） 思路一：连接，可证即为直线与所成的角，则

过点A作于点，连，可证即为二面角的一个平面角.在直角中 ，即二面角的大小为

思路二：以点为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系

设平面的一个法向量，平面的一个法向量为，利用向量的数量积求出这两个法向量的坐标，进而利用法向量的夹角求出锐二面角的大小.

试题解析：.解（1）证明：如图，取的中点，连接，

因，则

由平面侧面，且平面侧面，

得，又平面， 所以.

因为三棱柱是直三棱柱，则，所以.

又，从而侧面 ，又侧面，故.

解法一：连接，由（1）可知，则是在内的射影

∴ 即为直线与所成的角，则

在等腰直角中，，且点是中点，∴ ，且， ∴

过点A作于点，连，由（1）知，则，且

∴ 即为二面角的一个平面角

且直角中：，又，

∴ ，

且二面角为锐二面角 ∴ ，即二面角的大小为

解法二（向量法）：由（1）知且，所以以点为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，且设，则，，，，，，，

设平面的一个法向量，由， 得：

令 ，得 ，则

设直线与所成的角为，则

得，解得，即

又设平面的一个法向量为，同理可得，

设锐二面角的大小为，则

，且，得

∴ 锐二面角的大小为.

考点：1、空间直线、平面的位置关系；2、空间向量在立体几何问题中的应用.