题目内容
【题目】以边长为4的等比三角形
的顶点
以及
边的中点
为左、右焦点的椭圆过
两点.
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）过点
且
轴不垂直的直线
交椭圆于
两点，求证直线
与
的交点在一条直线上.
【答案】（1）
（2）
【解析】
试题分析：
（1）先建立直角坐标系，使椭圆方程为标准方程，则
（2）研究圆锥曲线的定值问题，一般方法为以算代证，即先求两直线交点坐标，再确定交点所在定直线：由对称性可知两直线交点必在垂直于x轴的直线上，因此运算目标为求交点横坐标为定值，设
的方程为
，
，则
：
，
：
，消去y得
，再利用直线方程与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理可得
，
，代入化简得
试题解析：（1） 由题意可知两焦点为
与
，且
，因此椭圆的方程为. （4分）
（2） ① 当
不与
轴重合时，
设的方程为
，且
，
联立椭圆与直线
消去
可得
，即，
设
，
则： ①
： ②
②-①得
则
，即.
②当
与
轴重合时，即
的方程为
，即
，
.
即：
①
：
②
联立①和②消去
可得.
综上
与
的交点在直线上.
【题目】刘老师是一位经验丰富的高三理科班班主任，经长期研究，他发现高中理科班的学生的数学成绩（总分150分）与理综成绩（物理、化学与生物的综合，总分300分）具有较强的线性相关性，以下是刘老师随机选取的八名学生在高考中的数学得分x与理综得分y（如下表）：
学生编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
数学分数x | 52 | 64 | 87 | 96 | 105 | 123 | 132 | 141 |
理综分数y | 112 | 132 | 177 | 190 | 218 | 239 | 257 | 275 |
参考数据及公式： 
．
（1）求出y关于x的线性回归方程；
（2）若小汪高考数学110分，请你预测他理综得分约为多少分？（精确到整数位）；
（3）小金同学的文科一般，语文与英语一起能稳定在215分左右．如果他的目标是在
高考总分冲击600分，请你帮他估算他的数学与理综大约分别至少需要拿到多少分？（精确到整数位）．
