Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1．
（1）求A₁C与DB所成角的大小；
（2）求二面角D-A₁B-C的余弦值；
（3）若点E在A₁B上，且EB=1，求EC与平面ABCD所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）建立空间直角坐标系，求出

DB

=(-1，1，0)，

CA1

=(1，1，1)，利用向量的夹角公式，可求A₁C与DB所成角的大小；
（2）求出平面A₁BD的法向量、平面A₁BC的一个法向量，利用向量的夹角公式，可求二面角D-A₁B-C的余弦值；
（3）求出平面ABCD的一个法向量，

CE

=(

2

2

，1，

2

2

)，利用向量的夹角公式，可求EC与平面ABCD所成角的大小．

解答：解：（1）如图建立空间直角坐标系C-xyz，
则C（0，0，0），D（1，0，0），B（0，1，0），A₁（1，1，1）．
∴

DB

=(-1，1，0)，

CA1

=(1，1，1)．
∴cos＜

DB

，

CA1

＞=

DB • CA1

| DB |•| CA1 |

=

0

2 • 3

=0．
∴A₁C与DB所成角的大小为90°．
（2）设平面A₁BD的法向量

n1

=（x，y，z），
则

n1

⊥

DB

，

n1

⊥

A1B

，
可得

-x+y=0 x+z=0

，∴

n1

=（1，1，-1）．
同理可求得平面A₁BC的一个法向量

n2

=（1，0，-1），
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

2

6

=

6

3

，
∴二面角D-A₁B-C的余弦值为

6

3

．
（3）设

n

=（0，0，1）是平面ABCD的一个法向量，且

CE

=(

2

2

，1，

2

2

)，
∴cos＜

n

，

CE

＞=

n • CE

| n |•| CE |

=

1

2

，
∴＜

n

，

CE

＞=60°，
∴EC与平面ABCD所成的角是30°．

点评：本题考查空间角，考查向量知识的运用，正确求出向量的坐标，求出平面的法向量是关键．