题目内容
（2012•西城区二模）甲、乙两人参加某种选拔测试．在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是
，乙能答对其中的5道题．规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，至少得15分才能入选．
（Ⅰ）求乙得分的分布列和数学期望；
（Ⅱ）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率．
| 3 | 5 |
（Ⅰ）求乙得分的分布列和数学期望；
（Ⅱ）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率．
分析：（Ⅰ）确定乙答题所得分数的可能取值，求出相应的概率，即可得到乙得分的分布列和数学期望；
（Ⅱ）由已知甲、乙至少答对2题才能入选，求出甲、乙入选的概率，利用对立事件，即可求得结论．
（Ⅱ）由已知甲、乙至少答对2题才能入选，求出甲、乙入选的概率，利用对立事件，即可求得结论．
解答：解：（Ⅰ）设乙答题所得分数为X，则X的可能取值为-15，0，15，30．
P(X=-15)=
=
； P(X=0)=
=
；P(X=15)=
=
； P(X=30)=
=
． …（4分）
乙得分的分布列如下：
EX=
×(-15)+
×0+
×15+
×30=
． …（6分）
（Ⅱ）由已知甲、乙至少答对2题才能入选，记甲入选为事件A，乙入选为事件B．
则 P(A)=
(
)2(
)+(
)3=
，…（8分）
P(B)=
+
=
． …（10分）
故甲乙两人至少有一人入选的概率P=1-P(
•
)=1-
×
=
． …（12分）
P(X=-15)=
| ||
|
| 1 |
| 12 |
| ||||
|
| 5 |
| 12 |
| ||||
|
| 5 |
| 12 |
| ||
|
| 1 |
| 12 |
乙得分的分布列如下：
| X | -15 | 0 | 15 | 30 | ||||||||
| P |
|
|
|
|
| 1 |
| 12 |
| 5 |
| 12 |
| 5 |
| 12 |
| 1 |
| 12 |
| 15 |
| 2 |
（Ⅱ）由已知甲、乙至少答对2题才能入选，记甲入选为事件A，乙入选为事件B．
则 P(A)=
| C | 2 3 |
| 3 |
| 5 |
| 2 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 81 |
| 125 |
P(B)=
| 5 |
| 12 |
| 1 |
| 12 |
| 1 |
| 2 |
故甲乙两人至少有一人入选的概率P=1-P(
. |
| A |
. |
| B |
| 44 |
| 125 |
| 1 |
| 2 |
| 103 |
| 125 |
点评：本题考查概率的计算，考查互斥事件的概率，考查离散型随机变量的分布列与期望，确定变量的取值，计算其概率是关键．
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