Question

9．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知公差d＜0，S₃=12，且2a₁，a₂，a₃+1成等比数列；
（1）当n取何值时，S_n有最大值，最大值是多少？
（2）设T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|，求T₁₀的值．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列与等比数列的通项公式可得a_n，令a_n≥0，解得n，即可S_n的最大值．
（2）由（1）可得：n≤3时，a_n≥0；n≥4时，a_n＜0．等差数列{a_n}的前n项和为S_n=10n-2n²．可得T₁₀=a₁+a₂+a₃-a₄-…-a₁₀=2S₃-S₁₀．

解答 解：（1）∵2a₁，a₂，a₃+1成等比数列；
∴${a}_{2}^{2}$=2a₁（a₃+1），
∴$（{a}_{1}+d）^{2}=2{a}_{1}（{a}_{1}+d+1）$，
又S₃=12，∴3a₁+3d=12，即a₁+d=4，
及d＜0，联立解得a₁=8，d=-4．
∴a_n=8-4（n-1）=12-4n．
令a_n≥0，解得n≤3．
∴当n=2，或3时，S_n有最大值，最大值是S₂=S₃=12．
（2）由（1）可得：n≤3时，a_n≥0；n≥4时，a_n＜0．
等差数列{a_n}的前n项和为S_n=8n-4×$\frac{n（n-1）}{2}$=10n-2n²．
∴T₁₀=a₁+a₂+a₃-a₄-…-a₁₀
=2S₃-S₁₀
=2×12-（10×10-2×10²）
=124．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、含绝对值数列求和问题，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．