Question

【题目】已知双曲线 （a＞0，b＞0）的离心率为 ，虚轴长为4．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过点（0，1），倾斜角为45°的直线l与双曲线C相交于A、B两点，O为坐标原点，求△OAB的面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：依题意可得 ，

解得 ，

∴双曲线的标准方程为 ．

（2）解：直线l的方程为y=x+1，

设A（x1，y1）、B（x2，y2），

由 可得3x2﹣2x﹣5=0，

由韦达定理可得 ， ，

即 ，

原点到直线l的距离为 ，

于是 ，

∴△AOB的面积为 ．

【解析】（1）运用双曲线的离心率公式和a，b，c的关系，解方程即可得到a=1，b=2，进而得到双曲线的方程；（2）直线l的方程为y=x+1，代入双曲线的方程，设A（x1 ， y1）、B（x2 ， y2），运用韦达定理和弦长公式，以及点到直线的距离公式，由三角形的面积公式计算即可得到所求值．