Question

已知直线l过点P（-1，-2）
（1）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；
（2）若直线l与x轴，y轴的负半轴交于A、B两点，求△AOB的面积的最小值，并求此时直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）直线l在两坐标轴上的截距相等包括两种情况，一是过原点，一是斜率为-1，分别求出两种情况下直线l的方程，进而得到答案；
（2）由已知中直线l过点P（-1，-2），与x轴，y轴的负半轴交于A、B两点，我们可以设直线l的方程为

x

a

+

y

b

=1（a＜0，b＜0），进而根据S△AOB=

1

2

|a| |b| =

1

2

ab，我们易根据基本不等式，得到△AOB的面积的最小值，即a，b的值，进而得到直线l的方程．

解答：（12分）
解：（1）当截距均为0时，直线l过P（-1，-2）及O（0，0）
方程为：y=2x         （2分）
当截距不为0时，设l的方程为：

x

a

+

y

a

=1
由题意：

-3

a

=1
∴a=-3
∴l的方程为：x+y+3=0
综上，l的方程为：y=2x或x+y+3=0（6分）
（2）设直线l的方程为

x

a

+

y

b

=1（a＜0，b＜0）（7分）
∵点P（-1，-2）在直线l上
∴

-1

a

+

-2

b

=1
∴1≥2

(- 1 a ) (- 2 b )

∴ab≥8，当且仅当

1 a + 2 b =-1 1 a = 2 b

即

a=-2 b=-4

时，取“=”（10分）S△AOB=

1

2

|a| |b| =

1

2

ab
∴当a=-2，b=-4时，（S_△AOB）_min=4（11分）
此时直线l的方程为

x

-2

+

y

-4

=1，即2x+y+4=0（12分）

点评：本题考查的知识点是直线的截距式方程，其中（1）的关键是分析出直线l在两坐标轴上的截距相等包括两种情况，一是过原点，一是斜率为-1，在解答时，易忽略直线l过原点这种情况，而错解为x+y+3=0．