Question

定义在R上的函数及二次函数满足：且。
（1）求和的解析式；
（2）；
（3）设，讨论方程的解的个数情况．

Answer 1

（1），（2），（3）当时,方程有个解;
当时,方程有个解;当时,方程有个解;当时,方程有个解.

试题分析：（1）求函数解析式有不同的方法.满足可利用方程组求解，由解得: ，而为二次函数，其解析式应用待定系数法求解可设，再根据三个条件且，列三个方程组解得，（2）不等式恒成立问题常转化为最值问题，本题转化为左边最小值不小于右边最大值，右边函数无参数，先根据导数求出其最大值，这样就转化为二次函数恒不小于零的问题，利用实根分布可得到充要条件所以（3）研究解的个数问题，需先研究函数图像，解方程，实际有两层，由解得；再由得两个解，由得三个解，结合这些解的大小，可得到原方程解得情况.
试题解析：(1) ,①
即②
由①②联立解得: .               2分
是二次函数, 且,可设,
由,解得.
.            4分
(2)设,
,
依题意知:当时,
,在上单调递减,
                6分
在上单调递增,
解得:
实数的取值范围为.      9分
(3)设,由(2)知,
的图象如图所示:

设,则
当,即时, ,有两个解, 有个解;
当,即时, 且,
有个解;                      2分
当,即时, ,有个解;
当,即时, ,有个解.  13分
综上所述:
当时,方程有个解;
当时,方程有个解;
当时,方程有个解;
当时,方程有个解.              14分