题目内容

某企业招聘工作人员，设置A、B、C三组测试项目供参考人员选择，甲、乙、丙、丁、戊五人参加招聘，其中甲、乙两人各自独立参加A组测试，丙、丁两人各自独立参加B组测试．已知甲、乙两人各自通过测试的概率均为
1
3
，丙、丁两人各自通过测试的概率均为
1
2
．戊参加C组测试，C组共有6道试题，戊会其中4题．戊只能且必须选择4题作答，答对3题则竞聘成功．
（Ⅰ）求戊竞聘成功的概率；
（Ⅱ）求参加A组测试通过的人数多于参加B组测试通过的人数的概率；
（Ⅲ）记A、B组测试通过的总人数为ξ，求ξ的分布列和期望．
分析：（I） 设戊竞聘成功为A事件，则事件的总数为
C
4
6
，而事件A竞聘成功分为两种情况：一种是戊会其中4题都选上
C
4
4
，另一种是选上会其中4题的其中3道题和另一道题有
C
3
4
•
C
1
2
种方法，再利用概率计算公式即可得出．
（Ⅱ）设“参加A组测试通过的人数多于参加B组测试通过的人数”为B事件，包括两种情况：一种是甲乙两人都通过，而丙丁两人都没有通过，其概率是
1
3
×
1
3
×[1-(1-
1
2
)(1-
1
2
)]；另一种情况是甲乙两人都通过，而丙丁两人种只有一人通过，其概率是
C
1
2
×
1
3
×(1-
1
3
)×(1-
1
2
)2，再利用互斥事件的概率计算公式即可得出．
（Ⅲ）ξ可取0，1，2，3，4．ξ=0表示甲乙丙丁四人都没有通过；ξ=1表示四人中只有一人通过；ξ=3表示由3人通过；ξ=4表示四人都通过，利用分类讨论和独立事件的概率计算公式及其互斥事件的概率计算公式及其对立事件的概率计算公式和概率的性质即可得出，P（ξ=2）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）-P（ξ=3）-P（ξ=4）．
解答：解：（I） 设“戊竞聘成功”为A事件，而事件A竞聘成功分为两种情况：一种是戊会其中4题都选上，另一种是选上会其中4题的其中3道题和另一道题，基本事件的总数为
C
4
6
．
∴P（A）=
C
4
4
+
C
3
4
C
1
2
C
4
6
=
3
5

（Ⅱ）设“参加A组测试通过的人数多于参加B组测试通过的人数”为B事件，包括两种情况：一种是甲乙两人都通过，而丙丁两人都没有通过，另一种情况是甲乙两人都通过，而丙丁两人种只有一人通过．
∴P（B）=
1
3
×
2
3
×2×(
1
2
)2+
1
3
×
1
3
×
3
4
=
7
36
．
（Ⅲ）ξ可取0，1，2，3，4．可得P（ξ=0）=(1-
1
3
)2(1-
1
2
)2=
4
36
，P（ξ=1）=
C
1
2
(1-
1
3
)×
1
3
×(1-
1
2
)2+
C
1
2
×
1
2
×(1-
1
2
)×(1-
1
3
)2=
12
36
，P（ξ=3）=
C
1
2
×
1
3
×(1-
1
3
)×(
1
2
)2+
C
1
2
×
1
2
×(1-
1
2
)×
1
3
×
1
3
=
6
36
，P（ξ=4）=
1
3
×
1
3
×
1
2
×
1
2
=
1
36
，P（ξ=2）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）-P（ξ=3）-P（ξ=4）=
13
36
．
列表如下：
ξ 0 1 2 3 4
P
4
36
12
36
13
36
6
36
1
36
∴Eξ=0×
4
36
+1×
12
36
+2×
13
36
+3×
6
36
+4×
1
36
=
5
3
．
点评：本题中考查了超几何分布、互斥事件的概率计算公式、随机变量的分布列及其数学期望、分类讨论等基础知识与基本方法，属于难题．
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（Ⅰ）求戊竞聘成功的概率；

（Ⅱ）求参加组测试通过的人数多于参加组测试通过的人数的概率；

（Ⅲ）记、组测试通过的总人数为，求的分布列和期望.

 

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