Question

在一个轴截面是正三角形的圆锥形容器中注入高为h的水，然后将一个铁球放入这个圆锥形的容器中，若水面恰好和球面相切，求这个铁球的半径．

Answer 1

分析：根据水的高度以及圆锥形容器的轴截面为等边三角形得到水的体积，设出球的半径表示出球的体积，则根据放球后总体积V′=V_球+V_水，得到关于铁球R的方程，解出即可．

解答：解：如图，作出圆锥形容器的轴截面，△ABS为等边三角形．
∵SG=h，DG=

3

3

h，∴V_水=

π

3

•DG²•SG=

π

9

h³．
设铁球的半径为R，
则SO=2R，SF=3R，
在Rt△FSB中，BF=SFtan∠FSB=

3

R，
设放入球之后，球与水共占体积为V′，
则V′=

π

3

•（BF）²•SF=

π

3

（

3

R）²•3R=3πR³，V_球=

4π

3

R³．
依题意，有V′=V_球+V_水，
即3πR³=

4π

3

R³+

π

9

h³，∴R=

3 225

15

h．
答：铁球的半径为

3 225

15

h．

点评：考查学生利用导数研究函数极值的能力，以及函数模型的选择与应用的能力．