Question

（理科）函数有如下性质：①函数是奇函数；②函数在上是减函数，在上是增函数．
（1）如果函数（x＞0）的值域是[6，+∞），求b的值；
（2）判断函数（常数c＞0）在定义域内的奇偶性和单调性，并加以证明；
（3）对函数（常数c＞0）分别作出推广，使它们是你推广的函数的特例．判断推广后的函数的单调性（只需写出结论，不要证明）．

Answer 1

【答案】分析：（1）因为2^b＞0，x＞0，所以可用均值不等式求函数的值域，求出的值域与所给值域比较，即可求出b的值．
（2）先求函数的定义域，得到定义域关于原点对称，计算f（-x），结果等于f（x），所以可判断函数为偶函数．
再利用函数的单调性定义判断函数的单调性，先证明x＞0的单调性，设0＜x₁＜x₂，作差比较f（x₂）与f（x₁）的大小，得到，，所以函数在上是增函数，f（x）在（0，]为减函数，当x＜0，时，用同样的方法证明．
（3）由（1）可推广当n是奇数时，函数的奇偶性和单调性，由（2）可推广当n是偶数时，函数的奇偶性和单调性，注意单调区间的根指数的规律即可
解答：解：（1）∵2^b＞0，x＞0，∴＞0，∴，当且仅当x=，x²=2^b时等号成立．
又∵函数的值域是[6，+∞），即y≥6，∴2=6，解得，b=long₂9．
（2）设，
，
∴函数为偶函数．
设=．
，
∴函数在上是增函数；
当0，f（x）在（0，]为减函数，
设，，则是偶函数，
∴f（x₁）-f（x₂）=f（-x₁）-f（-x₂）＞0，
∴函数上是减函数，
同理可证，函数上是增函数．
（3）可以推广为研究函数的单调性．
当n是奇数时，函数上是增函数，
在上是减函数；
当n是偶数时，函数上是增函数，
在上是减函数；
点评：本题主要考查均值定理求函数的最小值，定义法证明函数的单调性，奇偶性，均值定理要考虑成立的条件，定义证明奇偶性时，要先判断定义域是否关于原点对称，证明函数的单调性时，要把f（x₂）与f（x₁）的差分解成几个因式的乘积的形式．