Question

已知α是△ABC的一个内角，且sinα+cosα=

1

5

，则sin2α+cos²α的值为

-

3

5

．

Answer 1

分析：由α∈（0，π），sinα+cosα=

1

5

∈（0，1）可知α为钝角，易求sin2α=-

24

25

，从而可求sinα-cosα=

7

5

，于是易求cosα=-

3

5

及答案．

解答：解：∵α∈（0，π），sinα+cosα=

1

5

，①
∴sin²α+cos²α+2sinαcosα=

1

25

，
∴2sinαcosα=

1

25

-1=-

24

25

＜0，
又sinα＞0，
∴cosα＜0，
∴sinα-cosα＞0，
又（sinα-cosα）²=1-2sinαcosα=1-（-

24

25

）=

49

25

，
∴sinα-cosα=

7

5

，②
由①②得：cosα=-

3

5

，sinα=

4

5

．
∴sin2α+cos²α=

1

25

-sin²α=

1-16

25

=-

3

5

．
故答案为：-

3

5

．

点评：本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，求得sinα-cosα=

7

5

是关键，也是难点，考查方程思想与运算能力，属于中档题．