Question

设函数f（x）=x（e^x-1）-ax²，a∈R，其中e为自然对数的底数．
（Ⅰ）若a=

1

2

，求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若当x≥0时，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用导数的运算法则得到f′（x），再求出f′（x）＞0即可；
（2）由于f（x）=x（e^x-1-ax），令g（x）=e^x-1-ax，得到g′（x），通过对a分类讨论，利用导数与函数单调性的关系即可得出．

解答：解：（1）a=

1

2

时，f(x)=x(ex-1)-

1

2

x2，
f′（x）=e^x-1+xe^x-x=（e^x-1）（（x+1）．
令f'（x）＞0，得x＜-1或x＞0，
所以f（x）的单调递增区间为（-∞，-1），（0，+∞）．
（2）f（x）=x（e^x-1-ax）
令g（x）=e^x-1-ax，则g′（x）=e^x-a．
若a≤1，则当（0，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，
而g（x）=0，从而当x≥0时，g（x）≥0，即f（x）≥0．
若a＞1，则当x∈（0，lna）时，g′（x）＜0，g（x）为减函数，
而g（x）=0，从而当x∈（0，lna）时，g（x）＜0，即f（x）＜0．
所以不合题意，舍去．
综合得a的取值范围为（-∞，1]．

点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性的方法、分类讨论的思想方法等是解题的关键．