题目内容

已知抛物线C：y2=4x，O为坐标原点，动直线l：y=k（x+1）与抛物线C交于A、B两点.

（1）求证：为常数；

（2）求满足的点M的轨迹方程.

解：由得k2x2+(2k2-4)x+k2=0.?

由k≠0,且Δ＞0,得-1＜k＜1,且k≠0.?

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-2，x1x2=1.?

(1)证明:=x1x2+y1y2=?

x1x2+k2（x1+1）（x2+1）?

=（k2+1）x1x2+k2（x1+x2）+k2?

=k2+1+k2（）+k2=5，?

∴为常数.?

(2)解:=(x1+x2,y1+y2)=( ,).?

设M(x,y),则消去k得y2=4x+8.?

又∵x=＞2,故M的轨迹方程为y2=4x+8(x＞2).

练习册系列答案
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精英家教网如图，已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4且位于x轴上方的点． A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M（O为坐标原点）．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标；
（Ⅲ）以M为圆心，4为半径作圆M，点P（m，0）是x轴上的一个动点，试讨论直线AP与圆M的位置关系．
已知抛物线C：y2=2px（p＞0），F为抛物线C的焦点，A为抛物线C上的动点，过A作抛物线准线l的垂线，垂足为Q．
（1）若点P（0，4）与点F的连线恰好过点A，且∠PQF=90°，求抛物线方程；
（2）设点M（m，0）在x轴上，若要使∠MAF总为锐角，求m的取值范围．
已知抛物线C：y2=2Px（p＞0）上横坐标为4的点到焦点的距离为5．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）设直线y=kx+b（k≠0）与抛物线C交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），且|y1-y2|=a（a＞0），求证：a2=
16(1-kb)k2
．
已知抛物线C：y2=4x，点M（m，0）在x轴的正半轴上，过M的直线l与C相交于A、B两点，O为坐标原点．
（I）若m=1，且直线l的斜率为1，求以AB为直径的圆的方程；
（II）问是否存在定点M，不论直线l绕点M如何转动，使得
1
|AM|2
+
1
|BM|2
恒为定值．
已知抛物线C：y2=8x与点M（-2，2），过C的焦点，且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若
MA
•
MB
=0，则k=（　　）

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