Question

（2009•台州一模）已知数列{a_n}的首项a1=

1

2

，前n项和Sn=n2an．
（Ⅰ）求证：an+1=

n

n+2

an；
（Ⅱ）记b_n=lnS_n，T_n为{b_n}的前n项和，求e-Tn-n的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由Sn=n2an①，得Sn+1=(n+1)2an+1②，②-①后整理可得结论；
（Ⅱ）利用累积法求出a_n，从而得到S_n，进而求得b_n，T_n，利用对数恒等式可得答案；

解答：解：（Ⅰ）由Sn=n2an①，得Sn+1=(n+1)2an+1②，
②-①得：an+1=(n+1)2an+1-n2an，
整理得，an+1=

n

n+2

an．
（Ⅱ）由an+1=

n

n+2

an，得

an+1

an

=

n

n+2

，
所以an=a1×

a2

a1

×

a3

a2

×…×

an

an-1

=

1

2

×

1

3

×

2

4

×…×

n-2

n

×

n-1

n+1

=

1

n(n+1)

（n≥2），
又当n=1时，a1=

1

2

，所以an=

1

n(n+1)

．
∴Sn=n2an=

n

n+1

，b_n=lnS_n=lnn-ln（n+1），
∴T_n=（ln1-ln2）+（ln2-ln3）+（ln3-ln4）+…+（lnn-ln（n+1））=-ln（n+1），
∴e-Tn-n=eln(n+1)-n=1．

点评：本题考查由数列递推公式求数列通项、数列求和，考查学生逻辑推理能力、运算能力，属中档题．