Question

20．数列{a_n}的前n项和S_n=100n-n²（n∈N^*）．
（1）判断{a_n}是不是等差数列，若是，求其首项、公差；
（2）设b_n=|a_n|，求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）利用a_n=S_n-S_n-1求出通项公式，根据通项公式判断．
（2）根据a_n的通项公式判断a_n的符号变化，然后对n的范围进行讨论求和．

解答 解：（1）当n=1时，a₁=S₁=99，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=100n-n²-[100（n-1）-（n-1）²]=101-2n，显然当n=1时，a_n=101-2n也成立．
∴a_n=101-2n，∴a_n+1-a_n=101-2（n+1）-（101-2n）=-2．
∴{a_n}是等差数列，a₁=99，d=-2．
（2）令a_n≥0，得101-2n≥0，解得n≤50．∴当n≤50时，b_n=a_n，当n≥51时，b_n=-a_n．
设数列{b_n}的前n项和为T_n，
∴当n≤50时，T_n=S_n=100n-n²，
当n≥51时，T_n=S₅₀-a₅₁-a₅₂-…-a_n=S₅₀-（S_n-S₅₀）=2S₅₀-S_n=2（100×50-50²）-（100n-n²）=n²-100n+5000．

点评 本题考查了等差数列的判断，数列求和，判断出a_n的符号变化是关键．