Question

设y关于变量x，θ（x，θ∈R）的函数为：y=f（x，θ）=x²-2xcos2θ+cos²2θ-sin²θ+4sinθcosθ+2cos²θ，求y=f（x，θ）的最小值，并求此时θ和x的值．

Answer 1

分析：对函数进行配方可得y=（x-cos2θ）²+3cos²θ+2sin2θ-1=(x-cos2θ)2+

5

2

sin(2θ+arctg

3

4

)+

1

2

，结合二次函数的性质可求函数的最小值及取得最小值的x

解答：解：y=（x-cos2θ）²+3cos²θ+2sin2θ-1=(x-cos2θ)2+

5

2

sin(2θ+arctg

3

4

)+

1

2

…（4分）
当且仅当

x=cos2θ 2θ+arctg 3 4 =2kπ- π 2

…（4分）
即

θ=kπ- π 4 - 1 2 arctg 3 4 x=cos2θ=- 3 5

（k∈Z）时…．…（6分）
ymin=0-

5

2

+

1

2

=-2…..（2分）

点评：本题主要考查了利用配方法求解二次函数的最小值及取得最小值的条件的判断，属于基础试题