Question

（1）证明：|a+b|+|a-b|≥2|a|，并说明等号成立的条件；
（2）若不等式|a+b|+|a-b|≥|a|（|x-2|+|x-3|）对任意的实数a（a≠0）和b恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）利用绝对值不等式的几何意义即可证得：|a+b|+|a-b|≥2|a|，并能求得等号成立的条件；
（2）由（1）得

|a+b|+|a-b|

|a|

≥2，于是|x-2|+|x-3|≤2恒成立，通过对自变量x范围的分类讨论，去掉式中的绝对值符号，再解相应的不等式，最后取并即可．

解答： （1）证明：|a+b|+|a-b|≥|（a+b）+（a-b）|=2|a|，…3分
当且仅当（a-b）（a+b）≥0时等号成立，即|a|≥|b|…5分
（2）解：由（1）得

|a+b|+|a-b|

|a|

≥2，即

|a+b|+|a-b|

|a|

的最小值为2，
于是|x-2|+|x-3|≤2…6分
当x＜2时，原不等式化为-（x-2）-（x-3）≤2，解得x≥

3

2

，
所以x的取值范围是

3

2

≤x＜2；…7分
当2≤x≤3时，原不等式化为（x-2）-（x-3）≤2，即-5≤2恒成立，
所以x的取值范围是2≤x≤3；…8分
当x＞3时，原不等式化为（x-2）+（x-3）≤2，解得x≤

7

2

，
所以x的取值范围是3＜x≤

7

2

；…9分
综上所述，x的取值范围是

3

2

≤x≤

7

2

…10分

点评：本题考查绝对值不等式的解法，着重考查等价转化思想与分类讨论思想的综合应用，考查运算求解能力，属于中档题．