Question

12．对于抛物线C，设直线l过C的焦点F，且l与C的对称轴的夹角为$\frac{π}{4}$．若l被C所截得的弦长为4，则抛物线C的焦点到顶点的距离为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 设抛物线方程为y²=2px（p＞0），得出直线l的方程，联立方程组得出根与系数的关系，利用弦长公式列方程解出p．则焦点到顶点的距离为$\frac{p}{2}$．

解答 解：不妨设抛物线方程为y²=2px（p＞0），则抛物线的焦点F（$\frac{p}{2}$，0），则直线l的方程为y=x-$\frac{p}{2}$．
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2px}\\{y=x-\frac{p}{2}}\end{array}\right.$，消元得y²-2py-p²=0．
∴y₁+y₂=2p，y₁y₂=-p²．
∴直线l被抛物线解得弦长为$\sqrt{2}$$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=4．
∴$\sqrt{2}$$\sqrt{4{p}^{2}+4{p}^{2}}$=4，解得p=1．
∴F（$\frac{1}{2}$，0）．即抛物线C的焦点到顶点的距离为$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了抛物线的性质，弦长公式，属于中档题．