Question

已知椭圆

x2

4

+y2=1的左、右顶点分别为M、N，P为椭圆上任意一点，且直线PM的斜率的取值范围是[

1

2

，2]，则直线PN的斜率的取值范围是（　　）

• A、[

  1

  8

  ，

  1

  2

  ]
• B、[-

  1

  2

  ，-

  1

  8

  ]
• C、[-8，-2]
• D、[2，8]

Answer 1

分析：先求出M、N的坐标，设点P的坐标，则点P的坐标满足椭圆的方程，计算直线PM的斜率与直线PN的斜率之积等于定值，求出PM的斜率取最值时，PN的斜率的值，即得PN的斜率的取值范围．

解答：解：M（-2，0）、N（2，0），设点P的坐标（x，y），则有

x2

4

+y2=1，即 y²=1-

x2

4

，
直线PM的斜率与直线PN的斜率之积等于 

y

x+2

×

y

x-2

=

y2

x2-4

=

1- x2 4

x2-4

=-

1

4

，
∵PM的斜率的取值范围是[

1

2

，2]，当PM的斜率等于

1

2

时，PN的斜率等于-

1

2

，
当PM的斜率等于2时，PN的斜率等于-

1

8

，∴PN的斜率的取值范围为[-

1

2

，-

1

8

]，
故选B．

点评：本题考查椭圆的简单性质的应用，本题的关键是利用直线PM的斜率与直线PN的斜率之积等于定值．