Question

【题目】如图,已知圆柱的底面圆的半径，圆柱的表面积为；点在底面圆上，且直线与下底面所成的角的大小为，

(1)求点到平面的距离；

(2)求二面角的大小(结果用反三角函数值表示).

Answer 1

【答案】(1);(2)

【解析】

(1)确定是直线与下底面所成的角，如图以为坐标原点，以、分别为轴，面上过点且与垂直的线为轴，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用距离公式，即可求点到平面的距离；
（2）平面的一个法向量为，由（1）知平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角的大小.

解：（1）设，因为底面半径，圆柱的表面积为，
所以，解得，
因为⊥底面，所以是在底面上的射影，
所以是直线与下底面所成的角，即，
在直角三角形中，，，所以，
是底面直径，所以，
以为坐标原点，以、分别为轴，面上过点且与垂直的线为轴，建立空间直角坐标系如图所示：

则，
于是，
设平面的一个法向量为，则，
不妨令，则，
所以到平面的距离，
所以点到平面的距离为；
（2）平面的一个法向量为，
由（1）知平面的一个法向量，
二面角的大小为，则，
由于二面角为锐角，所以二面角的大小为.