Question

已知函数f（x）=x|x+1|-x-2．
（1）求函数f（x）在区间[-2，2]上的最大值；
（2）是否存在区间[m，n]，使得函数的定义域与值域均为[m，n]，若存在，请求出所有可能的区间[m，n]，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）把f（x）化为分段函数，然后作出函数图象，根据图象可知其单调性，由单调性可求得函数的最值；
（2）分情况进行讨论：①当0≤m＜n时，根据函数的单调性可得最值，从而可得方程组，解出判断即可；②当m＜0时，若n＜0也可判断单调性，同理可得方程组；
若n≥0，即m≤-1＜0≤n，可判断出最大值，令其为n可求得n值，再讨论最小值令其为m可求m值；

解答：解：（1）f（x）=x|x+1|-x-2=

x2-2，x≥-1 -x2-2x-2，x＜-1

，
作出函数图象，如图所示：
可知函数f（x）在区间[-2，-1]上是增函数，在区间（-1，0]上是减函数，在区间（0，2]上是增函数，
又f（-1）=-1，f（2）=2，所以函数f（x）在区间[-2，2]上的最大值为f（2）=2．
（2）f（x）=x|x+1|-x-2=

x2-2，x≥-1 -x2-2x-2，x＜-1

，
①当0≤m＜n时，则f（x）在区间[m，n]上单调递增，
故

f(m)=m f(n)=n

，∴

m2-2=m n2-2=n

，解得m=n=2，矛盾；
②当m＜0时，m≤f（m）≤f（-1）=-1，
若n＜0，则n≤f（-1）=-1，此时f（x）在区间[m，n]上单调递增，
故

f(m)=m f(n)=n

，∴

-m2-2m-2=m -n2-2n-2=n

，解得

m=-2 n=-1

，符合题意；
若n≥0，即m≤-1＜0≤n，此时f（x）在区间[m，n]上的最大值为f（-1）与f（n）中较大者，而f（-1）=-1＜0，
∴f（n）=n，即n²-2=n，解得n=2，
f（x）在区间[m，n]上的最小值为f（0）与f（m）中较小者，
若f（0）=m=-2，此时f（m）=f（-2）=-2=f（0），符合题意；
若f（m）=m，则-m²-2m-2=m且m≤-2，解得m=-2．符合题意；
综上，满足题意的区间有两个：[-2，-1]和[-2，2]．

点评：本题考查函数单调性的应用、二次函数最值的求解，考查分类讨论思想、数形结合思想，考查学生解决问题的能力．