Question

数列{a_n}的前n项和记为S_n，已知a₁＝1，a_n+1＝S_n(n＝1，2，3，…)，求证：

(1)数列{}是等比数列；

(2)S_n+1＝4a_n．

Answer 1

答案：
解析：

　　证明：(1)a_n+1＝S_n+1－S_n，a_n+1＝S_n，

　　∴(n＋2)S_n＝n(S_n+1－S_n)．

　　整理得nS_n+1＝2(n＋1)S_n，

　　∴＝2．

　　故{}是以2为公比的等比数列．

　　(2)由(1)知＝4(n≥2)，

　　于是S_n+1＝4(n＋1)＝4a_n(n≥2)．

　　又a₂＝3S₁＝3，故S₁＝a₁＋a₂＝4，因此对于任意整数n≥1，都有S_n+1＝4a_n．

　　评注：本题求证的结论含有S_n，一般先用公式a_n+1＝S_n+1－S_n把题中所给的关系式转化为含S_n的递推关系式，这是本题的一个灵活之处，考查了同学们灵活运用所学知识的能力，而第二问又考查了分析问题和逻辑推理的能力．