Question

10．已知函数f（x）=xsinx+cosx（x＞0）．
（1）当x∈（0，2π）时，求f（x）的极值；
（2）记x_i为f（x）的从小到大的第i（i∈N^*）个极值点，证明：$\frac{1}{{{x}_{2}}^{2}}$+$\frac{1}{{{x}_{3}}^{2}}$+…+$\frac{1}{{{x}_{n}}^{2}}$＜$\frac{2}{9}$（n≥2，n∈N）

Answer 1

分析 （1）求导数，确定函数的单调性，即可求f（x）的极值；
（2）确定x_i=$\frac{（2n-1）π}{2}$，可得$\frac{9}{4}×\frac{1}{{{x}_{i}}^{2}}$=$[\frac{3}{（2n-1）π}]^{2}$＜$\frac{1}{（2n-1）^{2}}$，利用裂项法，即可证明结论．

解答 解：（1）∵f（x）=xsinx+cosx，
∴f′（x）=sinx+xcosx-sinx=xcosx，x∈（0，2π），
f′（x）=0，∴x=$\frac{π}{2}$或$\frac{3π}{2}$
∴f（x） 在（0，$\frac{π}{2}$），（$\frac{3π}{2}$，2π）递增，（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$）递减，…（2分）
∴f（x）_极小值=-$\frac{3π}{2}$，f（x）_极大值=$\frac{π}{2}$；…（6分）
（Ⅱ）∵f′（x）=0，x＞0，∴x_i=$\frac{（2n-1）π}{2}$，…（8分）
∴$\frac{9}{4}×\frac{1}{{{x}_{i}}^{2}}$=$[\frac{3}{（2n-1）π}]^{2}$＜$\frac{1}{（2n-1）^{2}}$，…（9分）
∴$\frac{9}{4}$（$\frac{1}{{{x}_{2}}^{2}}$+$\frac{1}{{{x}_{3}}^{2}}$+…+$\frac{1}{{{x}_{n}}^{2}}$）＜$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{5}^{2}}$+…+$\frac{1}{（2n-1）^{2}}$
＜$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+…+$\frac{1}{（2n-3）（2n-1）}$=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n-1}$）=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4n-2}$＜$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{{{x}_{2}}^{2}}$+$\frac{1}{{{x}_{3}}^{2}}$+…+$\frac{1}{{{x}_{n}}^{2}}$＜$\frac{2}{9}$（n≥2，n∈N）．…（12分）

点评 本题考查导数知识的运用，考查不等式的证明，考查放缩法的运用，属于中档题．